直角平面座標與二元一次聯立方程式
- 本孚 Bruce 游
- 3月5日
- 讀畢需時 11 分鐘
一位以概念為本教學的專業國中數學老師，針對B2 ch3直角平面座標與二元一次聯立方程式單元，撰寫三個不同角度的通則，並融合為一句更高層次的通則。
首先，我會確保充分理解概念為本教學（CBTL）的原則，參考CBTL.pdf、CBTLMA.pdf和term.pdf中的相關資訊。
概念為本教學（CBTL）是一種強調 概念理解 而非單純事實記憶的教學方法。起源於 Hilda Taba 在 1960 年代初期的研究，主張教師應理解知識的三個層次：事實、基本觀念和原則，以及概念。CBTL 的核心理念是，如果學生只是記憶事實，卻沒有將新資訊與先前已知的資訊連結，他們很快就會忘記這些事實。
CBTL 強調 「大觀念」（big ideas） 或稱 原理(principles)和通則(generalizations) ， 這些觀念是持久的、超越特定學科、時間和地點的重要原則。教學活動應圍繞這些大觀念，並運用 探究式教學，引導學生主動思考和建構知識。課堂討論應以 有力的提問 為基礎，鼓勵學生深入思考，並發展 批判性思維。
此外，CBTL 也重視 情境化學習，將概念置於真實情境中，讓學生在解決 真實問題 的過程中學習，而非將知識視為孤立的事實來學習。這種方法有助於學生理解知識的 應用性，並 將所學遷移到新的情境。
B2 ch3 直角平面座標與二元一次聯立方程式之通則
以下是根據ch3.pdf 的講義內容學科概念，從三個不同角度撰寫的通則：
幾何角度： 直角坐標系能將抽象的數與具體的形連結，展現方程式的幾何意義。
代數角度： 二元一次聯立方程式的解，是尋找滿足多個條件的變數值，可用代數方法求解。
應用角度： 直角坐標與二元一次聯立方程式，可模型化真實世界的關係與限制，解決實際問題。
更高層次的融合通則
將以上三個通則融合，可得出以下一句更高層次的通則：
透過數與形的轉換，解析變數關係，模型化真實世界，解決複雜問題
針對你提供的五個學科概念，我將以概念為本的原則，從三個不同角度撰寫通則，並融合為一句更高層次的通則。
B2 ch3 3-1 直角平面座標
7231-1：用數對表示平面上的位置
7231-2：直角坐標平面
7231-3：點到坐標軸上的距離
7231-4：點的平移
7231-5：象限
三個不同角度的通則
符號與位置： 數對是符號，在坐標平面上代表獨一無二的位置，符號系統能簡化空間概念。
距離與變換： 坐標軸是參考線，點到軸的距離與象限，能描述平移等幾何變換。
抽象與具體： 透過坐標，能將抽象的數，轉化為具體的圖形，有助於理解空間關係。
更高層次的融合通則
坐標作為符號，連結數與形，能描述位置、距離與變換，展現空間關係的規律。
根據我們目前討論的通則，以及你提供的 term.pdf 中對引導問題的解釋，我將以概念為本的教學觀念，並參考 lead.pdf 中的範例，產出一個事實性問題和兩個概念性問題，以引導學生思考直角平面座標的概念：
事實性問題
在直角坐標平面上，數對 (3, -2) 代表哪個象限的位置？ 這個問題旨在確認學生是否理解象限的定義以及如何根據數對的符號判斷其所在象限。
概念性問題
如果將一個點在坐標平面上向右平移 5 個單位，向上平移 3 個單位，它的坐標會如何變化？為什麼？ 這個問題旨在引導學生理解平移的幾何意義，並將其與坐標的變化連結。
數學家如何利用坐標系來描述和分析幾何圖形的性質？ 這個問題旨在鼓勵學生思考坐標系在連結代數與幾何方面扮演的角色，以及如何透過坐標來研究圖形的性質。
好的，根據我們討論的通則和引導問題，我將以表格的方式，分門別類地列出三件事：一、讓學生知道什麼？二、我們希望學生理解什麼？三、我們希望學生會做什麼？
項目 | 內容 |
一、讓學生知道什麼？ | (知識) |
* 數對的表示方式（例如：(x, y)）。 | |
* 直角坐標平面的組成要素（x軸、y軸、原點、象限）。 | |
* 象限的定義與符號規則（第一象限：x>0, y>0；第二象限：x<0, y>0；第三象限：x<0, y<0；第四象限：x>0, y<0）。 | |
* 點到坐標軸的距離的定義（點到x軸的距離為y坐標的絕對值；點到y軸的距離為x坐標的絕對值）。 | |
* 平移的定義（沿著x軸或y軸移動點的位置）。 | |
二、我們希望學生理解什麼？ | (概念) |
* 數對與坐標平面上的點之間的一一對應關係。 | |
* 坐標是位置的符號表示，能簡化空間概念。 | |
* 絕對值在計算點到坐標軸的距離時的意義，距離恆為正值。 | |
* 平移如何改變點的坐標，以及平移方向與坐標變化的關係。 | |
* 象限的特性如何反映點的x坐標和y坐標的符號。 | |
三、我們希望學生會做什麼？ | (技能) |
* 在直角坐標平面上正確標示數對所代表的點。 | |
* 根據點的坐標，判斷其所在的象限。 | |
* 計算點到x軸和y軸的距離，並正確使用絕對值。 | |
* 在坐標平面上執行點的平移，並正確記錄平移後的坐標。 | |
* 應用所學知識解決與坐標、距離、象限和平移相關的數學問題和實際情境。例如，設計簡單的尋寶遊戲，利用坐標指示尋寶地點。 |
透過以上的表格，可以清楚地了解在本單元中，學生需要學習的知識、概念和技能，並能更有效地進行教學設計。
好的，根據您提供的五年級學科概念 7231-1 到 7231-5 的內容，我將為每一項列出一個事實性問題和兩個概念性問題，並以表格方式呈現。我會參考 term.pdf 中對引導問題的解釋，並參考 lead.pdf 中的範例，以概念為本的教學觀念來設計問題。
以下表格呈現了各學科概念的事實性問題和概念性問題：
學科概念 | 事實性問題 | 概念性問題 |
7231-1 七年級 3-1 【概念1】：用數對表示平面上的位置 | 什麼是數對？數對中的兩個數字分別代表什麼意義？ | 1. 為什麼數對中的數字順序很重要？如果交換數對中兩個數字的順序，會發生什麼情況？ |
2. 數對與我們在日常生活中使用的其他定位系統（例如：地址、電影院座位）有什麼相似或不同之處？ | ||
7231-2 七年級 3-1 【概念2】：直角坐標平面 | 直角坐標平面是由哪兩條數線組成的？這兩條數線有什麼特性？ | 1. 直角坐標平面上的點與數對之間有什麼關係？為什麼我們可以使用數對來唯一確定平面上的某個點？ |
2. 如果一個點位於 X 軸或 Y 軸上，它的數對會有什麼特別之處？這代表什麼意義？ | ||
7231-3 七年級 3-1 【概念3】：點到坐標軸上的距離 | 絕對值的定義是什麼？在計算點到坐標軸的距離時，為什麼要使用絕對值？ | 1. 如何從點的坐標中判斷該點到 X 軸或 Y 軸的距離？ |
2. 如果兩個點的 X 坐標相同，它們到 Y 軸的距離會有什麼關係？如果兩個點的 Y 坐標相同，它們到 X 軸的距離又會有什麼關係？ | ||
7231-4 七年級 3-1 【概念4】：點的平移 | 什麼是點的平移？在直角坐標平面上，點的平移會如何改變其坐標？ | 1. 如果將一個點向上平移，它的 X 坐標會改變嗎？Y 坐標呢？如果將一個點向右平移，情況又是如何？ |
2. 點的平移與函數圖形的平移有什麼關係？ | ||
7231-5 七年級 3-1 【概念5】：象限 | 象限是如何定義的？直角坐標平面上的四個象限分別有什麼特性？ | 1. 如何根據點的坐標判斷該點位於哪個象限？每個象限中的點，其 X 坐標和 Y 坐標的正負號有什麼規律？ |
2. 如果一個點從第一象限平移到第二象限，它的 X 坐標和 Y 坐標會發生什麼變化？在不同象限之間平移，點的坐標變化有什麼規律？ |
這些問題旨在引導學生理解數對、直角坐標平面、點到坐標軸的距離、點的平移和象限等概念，並鼓勵他們深入思考這些概念之間的關聯和應用。事實性問題著重於基本知識的掌握，而概念性問題則旨在促進更深層次的理解和批判性思考。
這個表格更清晰地呈現了每個學科概念的學習目標，並確保了「知道」、「理解」和「會做」之間的區別。
學科概念 | 我們希望學生知道什麼？ | 我們希望學生理解什麼？ | 我們希望學生會做什麼？ |
7231-1 七年級 3-1 【概念1】：用數對表示平面上的位置 | 數對的定義 [from previous conversation] | 數對中數字的順序代表不同的意義 [from previous conversation] | 在平面上正確地找到數對所代表的位置 [Me] |
7231-2 七年級 3-1 【概念2】：直角坐標平面 | 直角坐標平面是由兩條互相垂直的數線（X 軸和 Y 軸）組成的 [from previous conversation]X 軸和 Y 軸的特性 [from previous conversation] | 直角坐標平面上的點與數對之間存在一一對應的關係 [from previous conversation]位於 X 軸或 Y 軸上的點，其數對具有特殊的形式 [from previous conversation] | 在直角坐標平面上正確地找到數對所代表的位置，特別是在 X 軸或 Y 軸的交點上 [Me] |
7231-3 七年級 3-1 【概念3】：點到坐標軸上的距離 | 絕對值的定義 [from previous conversation]距離恆為正值 [Me] | 如何從點的坐標中提取資訊，並將其轉換為到 X 軸或 Y 軸的距離 [from previous conversation]為什麼要使用絕對值來確保距離為正值 [from previous conversation] | 從點的座標中提取信息，並將其轉換為到 X 軸或 Y 軸的距離，特別是要注意距離一定是正的，同時掌握絕對值的概念，並能夠在計算距離時正確地應用絕對值 [Me] |
7231-4 七年級 3-1 【概念4】：點的平移 | 點的平移是指在平面上將點沿著某個方向移動一定的距離 [Me]平移的方向可以是往上、往下、往左、往右 [Me] | 點的平移會改變其坐標 [from previous conversation]平移的方向和距離決定了坐標的變化 [from previous conversation] | 在直角坐標平面上正確地將點沿著 X 軸或 Y 軸移動 [Me]將點的平移概念應用於數學問題和實際情境中 [Me] |
7231-5 七年級 3-1 【概念5】：象限 | 直角坐標平面被 X 軸和 Y 軸分成四個象限 [Me]每個象限的定義和特性 [from previous conversation] | 點的坐標可以唯一確定其所在的象限 [from previous conversation]不同象限之間平移，點的坐標變化有一定的規律 [from previous conversation]每個象限中的點，其 X 坐標和 Y 坐標的正負號有什麼規律 [from previous conversation] | 根據點的座標正確地判斷其所在的象限 [Me]將象限的概念應用於數學問題和實際情境中 [Me] |
好的，根據您提供的單元通則、引導問題、講義內容學科概念（7231-1 到 7231-5 這五項），以及我們之前的對話，我將重新整理「我們希望學生知道什麼？」、「我們希望學生理解什麼？」、「我們希望學生會做什麼？」這三件事，並確保內容分門別類，不重複出現。我會按照 7231-1 到 7231-5 這五項順序列出，並以表格呈現。
基於先前的對話紀錄，以下分析如何將五個學科概念融入7231-1到7231-5的教學內容中，並以概念式教學的原則來設計：
7231-1：【概念1】：用數對表示平面上的位置
教學目標：理解數對的概念及其順序性，並能夠在平面上正確地找到數對所代表的位置。
融入方式：
強調數對的「表示」功能：數對是一種 簡潔、精確 的方式來 描述 平面上點的位置。
連結實際情境：利用地圖、座位表等實際例子，說明數對在 定位 上的應用。例如，電影院座位 (排, 號) ，讓學生體會數對的 實用性。
探究式提問：為什麼數對要有順序性？如果順序顛倒，會發生什麼情況？引導學生 思考順序的重要性。
學科概念的體現：
「關係」：數對中的兩個數字，代表點與兩條坐標軸的 相對位置關係。
7231-2：【概念2】：直角坐標平面
教學目標：理解數對的概念及其順序性，並能夠在直角坐標平面上正確地找到數對所代表的位置，特別是在X軸或Y軸的交點上。
融入方式：
強調直角坐標平面的「結構」：直角坐標平面是由兩條互相垂直的數線構成的，它提供了一個 系統化 的方式來 描述 平面上的所有點。
連結先前知識：複習數線的概念，並將其 延伸 到二維平面。
強調X軸、Y軸上的點的特性：在 X 軸上的點，其 Y 座標為 0；在 Y 軸上的點，其 X 座標為 0。
學科概念的體現：
「系統」：直角坐標平面本身就是一個 完整的系統，每個點都可以在這個系統中找到 唯一 的位置。
「形式」：直角坐標平面提供了一種 標準化 的形式來 呈現 點的位置。
7231-3：【概念3】：點到坐標軸上的距離
教學目標：理解如何從點的座標中提取信息，並將其轉換為到X軸或Y軸的距離，特別是要注意距離一定是正的，同時掌握絕對值的概念，並能夠在計算距離時正確地應用絕對值。
融入方式：
強調距離的「抽象」概念：點到坐標軸的距離，是點的座標的 絕對值，它代表的是點與坐標軸的 垂直距離。
連結絕對值的概念：解釋絕對值的 幾何意義，即數線上點到原點的距離。
強調距離的正向性：距離 永遠是正的，即使座標是負的。
學科概念的體現：
「抽象化」：將點的座標 抽象化 為距離的概念，體現數學的 簡化 和 概括 特性。
7231-4：【概念4】：點的平移
教學目標：理解點的平移概念及其特性，並能夠在直角坐標平面上正確地將點沿著X軸或Y軸移動，特別是在往上、往下、往左、往右的情況下，同時能夠將其應用於數學問題和實際情境中。
融入方式：
強調平移的「變換」：平移是一種 改變 點的位置的 變換，但 不改變 點的 形狀和大小。
連結幾何變換：與其他幾何變換（例如旋轉、鏡射）建立連結，讓學生理解變換的 共通性。
圖象的展示 : 提供學生往上、往下、往左、往右的圖象展示來理解。
學科概念的體現：
「變換」：平移是數學中 基本 的一種變換，它體現了數學的 動態性。
7231-5：【概念5】：象限
教學目標：理解直角坐標平面被X軸和Y軸分成的四個象限，並能夠根據點的座標正確地判斷其所在的象限，同時掌握每個象限的特性，並能夠將其應用於數學問題和實際情境中。
融入方式：
強調象限的「分類」：象限是一種 分類 的方式，它可以將平面上的點分成四個 不同 的區域。
連結正負數的概念：每個象限的點的座標的正負號是 不同 的，這與正負數的概念 密切相關。
實際情境： 结合地理方位，如利用象限表示校园内不同建筑物的位置关系。
學科概念的體現：
「分類」：將點的位置進行 分類，體現數學的 條理性 和 結構性。
貫穿以上五個概念，可以融入一個更高層次的通則：直角坐標平面是一個強大的工具，可以將幾何問題轉換為代數問題，並利用代數方法來解決幾何問題。
總結，以上設計強調 概念理解，而非單純的記憶。透過 連結實際情境、探究式提問 和 強調數學概念的共通性，幫助學生建立 更深層次 的理解。
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