CBTL的通則與概念教學 (B2 4-1比例)

針對B2ch4-1比例這個單元，以下是三個不同角度的通則：

1.比例揭示量之間的相對關係 [B2ch4-1 概念5]。

2.相等比例共享相同的比值，可轉換 [B2ch4-1 概念2, 4]。

3.比例是分析量與解決問題的工具 [B2ch4-1 概念6]。

將以上三個通則融合後，一句更高層次的通則是：

比例展現量之間恆定的關係，能分析並解決相關問題。

好的，根據我們目前討論的比例這個單元的通則，以及概念本位的教學觀念，以下為您產出的引導問題：

首先，根據 "term.pdf" 的解釋，引導式問題在探究任務中很常見，可以激發學生思考。

參考 "lead.pdf" 中提供的問題範例，針對比例這個單元，我設計了以下問題：

事實性問題：

• 什麼是比值？

概念性問題：

• 當兩個量的比值相等時，這代表了什麼樣的關係？

• 在解決實際問題時，如何運用比例的概念來分析不同量之間的關係？ [B2ch4-1 概念6]

這些問題旨在引導學生思考比例的基本概念以及其在不同情境下的應用，符合概念本位教學強調理解概念及其相互連結的精神。

好的，根據我們目前討論的比例單元的通則和引導問題，以下表格列出您所要求的「學生應知道」、「學生應理解」和「學生應會做」的事項：

學生應知道	學生應理解	學生應會做
* 比是由兩個數或量組成的關係 [已貼上文字 概念1]。	* 比例揭示了兩個量之間的相對大小或關係 [基於CBTL原則及已貼上文字 概念5]。	* 能夠正確地寫出兩個量組成的比 [已貼上文字 概念1]。
* 比值是比的前項除以後項所得的結果 [已貼上文字 概念1]。	* 當比值相等時，不同的比可以表示相同的比例關係 [已貼上文字 概念2, 4]。	* 能夠計算給定比的比值 [已貼上文字 概念1, 2]。
* 最簡整數比是將比化簡到前項和後項互質的整數形式 [已貼上文字 概念3]。	* 最簡整數比可以用來簡潔地表達比例關係 [已貼上文字 概念3]。	* 能夠將一個比化簡為最簡整數比 [已貼上文字 概念3]。
* 比例式是兩個比值相等的比，可以用等號連接 [已貼上文字 概念4]。	* 比例式表達了兩個量之間存在恆定的相對關係 [基於CBTL原則及已貼上文字 概念4, 5]。	* 能夠判斷兩個比是否相等，並寫成比例式 [已貼上文字 概念2, 4]。
* 比例式中，內項乘積等於外項乘積（內內=外外） [已貼上文字 概念4]。	* 「內內=外外」是比例式中恆成立的特性，可以用於檢驗或求解比例式中的未知項 [已貼上文字 概念4]。	* 能夠使用「內內=外外」的特性來解決比例式中未知的數值 [已貼上文字 概念4, 5]。
	* 比例可以用來分析和描述具有相同相對關係的不同情境 [基於CBTL原則及已貼上文字 概念6]。	* 能夠在比例式和描述比例關係的方程式之間進行轉換 [已貼上文字 概念5]。
	* 理解在面對比例問題的情境時，可以假設未知數為相同倍數（幾R法） 來簡化問題 [已貼上文字 概念6]。	* 能夠運用「幾R法」來假設未知數，並解決比例相關的數學或實際問題 [已貼上文字 概念6, gener.pdf 比例應用範例]。
	* 比值代表了兩個量之間的比例因子 [B2ch4-1 概念2]。	* 能夠利用比值的概念來比較不同比例的大小 [已貼上文字 概念2]。
	* 比例是數學建模的基礎之一，可以用來描述和預測真實世界中成比例的關係 [CBTLmini.pdf 情境化學習]。	* 能夠在簡單的真實情境中辨識出比例關係 [CBTLmini.pdf 情境化學習, gener.pdf 比例應用範例]。
	* 理解比例與分數和百分比之間存在關聯，都是表示部分與整體或兩個量之間關係的不同方式 [gener.pdf 七年級主題]。	* 能夠將比例與分數、百分比等概念相互轉換 [gener.pdf 七年級主題]。

這個表格根據您提供的學科概念和概念本位教學的原則，將學生需要知道的事實、需要理解的概念以及需要能夠做到的技能做了分類呈現，並且盡量避免重複。

好的，根據您提供的六個學科概念 7241-1 到 7241-6，以下表格列出每個概念的事實性問題和兩個概念性問題：

學科概念編號	學科概念	事實性問題	概念性問題
7241-1	七年級 4-1 【概念1】：比與比值 理解比例式的基本概念，並能夠在不同的比例式中正確地計算出比值	什麼是比值？	比值的大小代表了比的前項和後項之間什麼樣的關係？ [基於 98] 在不同的情境下，為什麼我們需要使用比值來比較兩個量之間的關係？ [基於 98]
7241-2	七年級 4-1 【概念2】：相等的比 理解並計算比例式中的比值，並且在遇到不同的比例式時，能夠正確地找出比值並進行比較，理解並應用比例的特性	如何判斷兩個比是否相等？	如果兩個比的比值相等，這意味著這兩個比之間存在什麼樣的關聯？ [基於 98] 應用比例的特性可以幫助我們解決哪些數學問題？ [基於 98]
7241-3	七年級 4-1 【概念3】：最簡整數比 辨識最簡整數比在數學和實際應用中的意義，並能夠將比例關係化簡為最簡整數比，理解其表示的意義。	什麼是最簡整數比？	為什麼我們需要將比化簡為最簡整數比？這樣做有什麼實際意義？ [基於 98] 一個比例可以化簡成唯一一個最簡整數比嗎？為什麼？ [基於 98]
7241-4	七年級 4-1 【概念4】：比例式的意義 能理解不同的比例在比值相等的情況下 , 能夠用等號連結這兩個比例 而成為比例式 , 並且理解比例式的內項乘積會等於外項乘積 簡稱為"內內=外外"	什麼是比例式？	為什麼當兩個比的比值相等時，我們可以用等號將它們連接起來？ [基於 98] 比例式中「內內=外外」的特性是如何產生的？它在解決比例問題時有什麼作用？ [基於 98]
7241-5	七年級 4-1 【概念5】：兩個量的關係 理解並表示兩個量之間的比例關係, 利用比例式中內項乘積等於外項乘積的特性, 能在比例式和一般具有比例關係的方程式之間做轉換	如何用比例式表示兩個量之間的比例關係？	比例式中的「內項乘積等於外項乘積」的特性，如何幫助我們在比例式和方程式之間進行轉換？ [基於 98] 在什麼情況下，我們會選擇使用比例式來表示兩個量的關係，而在什麼情況下會選擇使用方程式？它們之間有什麼本質的聯繫？ [基於 98]
7241-6	七年級 4-1 【概念6】：甲：乙＝2：5的意義 ("幾R法") 在面對比例問題的有一些情境時 , 採許將一組未知數透過比例關係分別假設成R的倍數, 已解決所面對到的數學或實際問題 , 以上簡稱為"幾R法"	在「甲：乙＝2：5」的情境中，「R」代表什麼意義？	為什麼在比例問題中，我們可以將未知數假設成相同變數的倍數（例如幾R法）來簡化問題？ [基於 98] 「幾R法」的本質是什麼？它與比例的概念有什麼關係？在哪些類型的比例問題中，這種方法特別有用？ [基於 98]

這些問題的設計旨在引導學生思考比例的基本定義、性質以及其在不同數學表達形式和問題解決中的應用，符合概念本位教學中強調理解概念及其相互連結的精神。事實性問題著重於基本知識的回憶，而概念性問題則鼓勵學生思考「如何」和「為什麼」，以促進更深層次的理解。

好的，根據您提供的學科概念和您的要求，以下表格列出每個概念「我們希望學⽣知道什麼？」、「我們希望學⽣理解什麼？」、「我們希望學⽣會做什麼？」的細部操作項⽬：

學科概念編號	學科概念	我們希望學⽣知道什麼？	我們希望學⽣理解什麼？	我們希望學⽣會做什麼？
7241-1	七年級 4-1 【概念1】：比與比值 理解比例式的基本概念，並能夠在不同的比例式中正確地計算出比值	比 是比較兩個同類量或具有相同單位的不同量之間關係的方法 [根據對概念的理解]。 比值 是比的前項除以後項所得的數值 [根據對概念的理解]。* 比可以寫成 a:b 的形式 [根據對概念的理解]。* 比值可以用 分數 (a/b) 或 小數 表示 [根據對概念的理解]。	比 描述了兩個量之間的大小關係或比例關係 [參考 CBTLmini.pdf]。 比值 提供了一個標準化的方式來比較不同的比 [參考 CBTLmini.pdf]。* 比值的大小反映了比的前項是後項的幾倍或幾分之幾 [根據對概念的理解]。	寫出 給定的兩個量的比 [根據對概念的理解]。 計算 給定比的比值 [根據對概念的理解]。* 判斷 不同的比所表示的關係 [根據對概念的理解]。
7241-2	七年級 4-1 【概念2】：相等的比 理解並計算比例式中的比值，並且在遇到不同的比例式時，能夠正確地找出比值並進行比較，理解並應用比例的特性	相等的比 具有相同的比值 [根據對概念的理解]。 將比的前項和後項 同乘以或同除以一個不為零的數，所得的新比與原比相等 [根據對概念的理解]。* 比例的 基本性質 [根據對概念的理解]。	比值是判斷兩個比是否相等的 依據 [根據對概念的理解]。 相等的比表示相同的 比例關係 [參考 CBTLmini.pdf]。* 比例的特性可以用於 簡化比 或 尋找比例中未知的量 [根據對概念的理解]。	計算 不同比的比值並進行 比較 [根據對概念的理解]。 判斷 給定的兩個比是否相等 [根據對概念的理解]。* 應用 比例的特性來解決簡單的問題 [根據對概念的理解]。
7241-3	七年級 4-1 【概念3】：最簡整數比 辨識最簡整數比在數學和實際應用中的意義，並能夠將比例關係化簡為最簡整數比，理解其表示的意義。	最簡整數比 的前項和後項都是互質的整數 [根據對概念的理解]。 化簡比的目標是得到 最簡整數比 [根據對概念的理解]。* 化簡比的方法是將比的前項和後項 同除以它們的最大公因數 [根據對概念的理解]。	最簡整數比是表示比例關係的 標準形式，便於比較和理解 [根據對概念的理解]。 在實際應用中，最簡整數比可以 更清晰地表達比例關係 [根據對概念的理解]。* 化簡比的過程 不改變原比所表示的比例關係 [根據對概念的理解]。	辨識 給定的比是否為最簡整數比 [根據對概念的理解]。 將 給定的比 化簡 為最簡整數比 [根據對概念的理解]。* 解釋 最簡整數比在具體情境中的意義 [根據對概念的理解]。
7241-4	七年級 4-1 【概念4】：比例式的意義 能理解不同的比例在比值相等的情況下 , 能夠用等號連結這兩個比例 而成為比例式 , 並且理解比例式的內項乘積會等於外項乘積 簡稱為"內內=外外"	比例式 是由兩個或兩個以上 比值相等的比 用等號連接而成的式子 [根據對概念的理解]。 比例式通常寫成 a:b = c:d 的形式 [根據對概念的理解]。* 在比例式 a:b = c:d 中，b 和 c 稱為內項，a 和 d 稱為外項 [根據對概念的理解]。* 比例式的 內項乘積等於外項乘積，即 b × c = a × d [根據對概念的理解]。	比例式表達了 兩個比例之間的相等關係 [參考 CBTLmini.pdf]。 「內內=外外」是比例式的一個 重要性質，可以用來 判斷是否為比例式 或 求解未知數 [根據對概念的理解]。* 比例式是描述和解決比例問題的 有效工具 [根據對概念的理解]。	寫出 給定相等比的比例式 [根據對概念的理解]。 判斷 給定的等式是否為比例式 [根據對概念的理解]。* 應用 比例式的內項乘積等於外項乘積的性質來解決簡單的比例問題 [根據對概念的理解]。
7241-5	七年級 4-1 【概念5】：兩個量的關係 理解並表示兩個量之間的比例關係, 利用比例式中內項乘積等於外項乘積的特性, 能在比例式和一般具有比例關係的方程式之間做轉換	兩個量之間存在 比例關係 時，它們的比值是 固定 的 [根據對概念的理解]。 比例關係可以用 比例式 表示，例如 x:y = a:b [根據對概念的理解]。* 比例關係也可以用 方程式 表示，例如 y = kx (其中 k 是常數，即比值) [根據對概念的理解]。* 比例式中的 內項乘積等於外項乘積 可以用來推導出相應的方程式 [根據對概念的理解]。	比例式和方程式都是描述兩個量之間比例關係的 不同數學語言 [根據對概念的理解]。 理解比例式和方程式之間的聯繫有助於 更靈活地解決問題 [根據對概念的理解]。* 常數比值 (k) 是連接比例式和方程式的 關鍵 [根據對概念的理解]。	將 兩個量之間的比例關係 寫成比例式 [根據對概念的理解]。 將 給定的比例式 轉換成 相應的 方程式 [根據對概念的理解]。* 將 具有比例關係的 方程式轉換成比例式 [根據對概念的理解]。
7241-6	七年級 4-1 【概念6】：甲：乙＝2：5的意義 ("幾R法") 在面對比例問題的有一些情境時 , 採許將一組未知數透過比例關係分別假設成R的倍數, 已解決所面對到的數學或實際問題 , 以上簡稱為"幾R法"	當兩個量甲和乙的比是 2:5 時，表示甲是乙的 2/5，或者乙是甲的 5/2 [根據對概念的理解]。 「幾R法」是指當甲：乙＝2：5 時，可以假設 甲＝2R，乙＝5R (其中 R 是一個共同的比例因子) [根據對概念的理解]。* R 可以是任何非零的數值 [根據對概念的理解]。	「幾R法」是一種 簡化比例問題 的有效策略，尤其是在涉及多個具有相同比例關係的量時 [根據對概念的理解]。 R 代表了將比例關係中的數字 還原到實際數值 的一個比例因子 [根據對概念的理解]。* 使用「幾R法」的 本質 是 保持原有的比例關係 [根據對概念的理解]。	在給定的比例問題情境中，正確地使用「幾R法」假設未知數 [根據對概念的理解]。 根據假設的未知數 (含 R) 列出方程式 [根據對概念的理解]。* 求解 R 的值 並 找到實際的數值 [根據對概念的理解]。

希望這個表格能夠清晰地呈現您所需要的細部操作項⽬。這些內容都基於您提供的學科概念和概念本位教學的原則。

好的，根據您提供的三個通則和一個更高層次的通則，以及 7241-1 到 7241-6 這六項關於比例的教學內容，以下分析如何依序且概念性地將這些通則融入教學中：

核心概念：概念本位教學 (CBTL) 強調概念理解而非單純事實記憶，注重概念之間的關聯、探究式學習和知識的應用。通則是在概念之間建立連結，形成可遷移的理解。

提供的通則：

1. 比例揭示量之間的相對關係。

2. 相等比例共享相同的比值，可轉換。

3. 比例是分析量與解決問題的工具。

4. 比例展現量之間恆定的關係，能分析並解決相關問題。

融入教學內容的分析：

7241-1 【概念1】：比與比值 理解比例式的基本概念，並能夠在不同的比例式中正確地計算出比值

• 融入通則一：「比例揭示量之間的相對關係」： 在介紹比的概念時，可以強調比是用來表達兩個量之間大小關係的一種方式，著重在「相對」而非絕對數值。例如，在討論 3:4 這個比時，引導學生思考 3 相對於 4 的大小，以及這種相對關係與實際數量的不同。這呼應了 CBTL 強調理解概念而非僅僅記憶事實。

• 融入更高層次的通則：「比例展現量之間恆定的關係，能分析並解決相關問題」： 可以初步提及，了解量之間的關係是數學分析的基礎，而比例正是展現這種關係的起點。計算比值則是分析這種關係的第一步。

7241-2 【概念2】：相等的比 理解並計算比例式中的比值，並且在遇到不同的比例式時，能夠正確地找出比值並進行比較，理解並應用比例的特性

• 融入通則一：「比例揭示量之間的相對關係」： 透過不同的相等比（如 2:4 和 1:2），讓學生計算比值並比較，強化「不同的數字組合可以表達相同的相對關係」的理解。這呼應了「相等的比共享相同的比值」的概念。

• 融入通則二：「相等比例共享相同的比值，可轉換」： 在介紹相等比的概念時，明確指出它們具有相同的比值，並且可以互相轉換（例如，透過擴分或約分）。這為後續理解比例式打下基礎。

• 融入更高層次的通則：「比例展現量之間恆定的關係，能分析並解決相關問題」： 強調即使表示方式不同，相等比之間的核心關係（比值）是恆定的，這使得我們能夠比較和分析不同情境下的數量關係。

7241-3 【概念3】：最簡整數比 辨識最簡整數比在數學和實際應用中的意義，並能夠將比例關係化簡為最簡整數比，理解其表示的意義

• 融入通則一：「比例揭示量之間的相對關係」： 引導學生思考，在所有相等的比中，最簡整數比以最簡潔的方式呈現了量之間的基本相對關係，更容易理解和比較。

• 融入通則二：「相等比例共享相同的比值，可轉換」： 將化簡為最簡整數比的過程視為相等比例之間轉換的一種具體應用，強調比值的恆定性。

• 融入通則三：「比例是分析量與解決問題的工具」： 舉例說明在實際應用中，例如比較不同配方中成分的比例，使用最簡整數比可以更直觀地進行分析和比較。

7241-4 【概念4】：比例式的意義 能理解不同的比例在比值相等的情況下 , 能夠用等號連結這兩個比例 而成為比例式 , 並且理解比例式的內項乘積會等於外項乘積 簡稱為"內內=外外"

• 融入通則二：「相等比例共享相同的比值，可轉換」： 明確指出比例式是用等號連接兩個比值相等的比例，是表達相等關係的一種數學形式。

• 融入通則三：「比例是分析量與解決問題的工具」： 將「內項乘積等於外項乘積」視為比例式這個數學工具的重要特性，可以用於判斷兩個比是否相等，以及解決比例式中的未知量，體現了比例在分析和解決問題中的作用。

• 融入更高層次的通則：「比例展現量之間恆定的關係，能分析並解決相關問題」： 強調比例式能夠清晰地展現量之間恆定的相等關係，並提供了解決相關未知數的有效方法。

7241-5 【概念5】：兩個量的關係 理解並表示兩個量之間的比例關係, 利用比例式中內項乘積等於外項乘積的特性, 能在比例式和一般具有比例關係的方程式之間做轉換

• 融入通則一：「比例揭示量之間的相對關係」： 強調比例式可以用來表達兩個量之間的相對關係，並能將這種關係轉換成更一般的方程式形式。

• 融入通則三：「比例是分析量與解決問題的工具」： 展示如何利用比例式的特性（內項乘積等於外項乘積）來建立方程式，進而解決實際問題中具有比例關係的未知量。

• 融入更高層次的通則：「比例展現量之間恆定的關係，能分析並解決相關問題」： 讓學生理解比例不僅僅是一種靜態的關係，更是一種可以轉化為數學工具（方程式）來分析和解決動態問題的恆定關係。

7241-6 【概念6】：甲：乙＝2：5的意義 在面對比例問題的有一些情境時 , 採許將一組未知數透過比例關係分別假設成R的倍數, 已解決所面對到的數學或實際問題 , 以上簡稱為"幾R法"

• 融入通則一：「比例揭示量之間的相對關係」： 解釋「甲：乙＝2：5」代表甲和乙之間的相對大小關係，甲是乙的 2/5 倍，乙是甲的 5/2 倍，或者它們可以分別表示為 2R 和 5R，突顯了比例所揭示的相對性。

• 融入通則三：「比例是分析量與解決問題的工具」： 強調「幾R法」是一種利用比例關係來簡化未知數，從而更有效地分析和解決特定情境下比例問題的策略。這再次體現了比例作為解決問題工具的功能。

• 融入更高層次的通則：「比例展現量之間恆定的關係，能分析並解決相關問題」： 說明「幾R法」是基於比例所展現的恆定關係，提供了一種將抽象比例關係應用於具體問題的有效方法。

總結融入策略的關鍵：

• 循序漸進： 按照教學內容的順序，逐步引入和深化對通則的理解。

• 概念連結： 明確解釋每個通則如何幫助理解該教學內容的核心概念。

• 實例應用： 結合具體例子和實際情境，展示通則在分析和解決問題中的應用價值。

• 探究引導： 鼓勵學生思考和探究，主動發現通則與概念之間的聯繫。

• 層次遞進： 從理解單一通則到整合多個通則，最終體會更高層次通則的意義。

透過以上分析，您可以依序且概念性地將這四個通則融入到 7241-1 到 7241-6 的教學內容中，幫助學生建立更深層次和更具遷移性的比例概念理解。